Везде

RAS Energy, Mechanics & ControlИзвестия Российской академии наук. Механика твердого тела Mechanics of Solids

  • ISSN (Print) 1026-3519
  • ISSN (Online) 3034-6428

ON THE CAUCHY STRAIN TENSOR, COMPATIBILITY CONDITIONS, AND DEFINING EQUATIONS OF AN ELASTIC MEDIUM

You can
PII
S30346428S1026351925030116-1
DOI
10.7868/S3034642825030116
Publication type
Article
Status
Published
Authors
N. I. Ostrosablin
  • Affiliation: Lavrent’ev Institute of Hydrodynamics, Siberian branch, RAS
Volume/ Edition
Volume / Issue number 3
Pages
207-228
Abstract
Using the example of four-dimensional equilibrium equations for kinetic stresses in Eulerian rectangular coordinates, it is shown that the operator of the four-dimensional Cauchy strain tensor is conjugate (transposed) to the operator of the equilibrium equations. The same connection between the operators of the equilibrium equations and the Cauchy strain tensor also holds in the threedimensional case. Three variants of the derivation of the conditions for the compatibility of Cauchy deformations are given. In the four-dimensional case, there are 21 compatibility conditions, and in the three-dimensional case, there are six Saint-Venant compatibility conditions. It is shown that the Cauchy strain tensor, both in Eulerian and Lagrangian variables, completely determines the deformed state of a continuous medium. At the same time, no restrictions on the amount of displacements, deformations or rotations are required. The Lagrange-Green and Euler-Almancy tensors, the so-called large or nite deformations, and the displacements are expressed using Cesaro formulas in terms of the Cauchy strain tensor. The de ning equations of an elastic continuous medium relate the Cauchy true stress tensor and the Cauchy strain tensor one to another. Using proper bases in the spaces of symmetric stress and strain tensors, the de ning relations can be written as six separate independent equations containing functions of only one argument. For continuous media with crystallographic symmetries, we can use the bases obtained on the basis of the generalized Hooke’s law.
Keywords
кинетические напряжения тензоры деформаций и напряжений Коши четырехмерная сплошная среда лагранжевы и эйлеровы переменные условия совместности тензоры Лагранжа-Грина и Эйлера-Альманси формулы Чезаро определяющие соотношения собственные состояния
Date of publication
10.11.2024
Year of publication
2024
Number of purchasers
0
Views
16

References

  1. 1. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 312 с.
  2. 2. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969. 336 с.
  3. 3. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
  4. 4. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
  5. 5. Победря Б.Е. О взаимосвязи геометрической и физической нелинейности в теории упругости и о смысле вектора перемещений // Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1987. Т. 40. № 4. С. 15-26.
  6. 6. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. 254 с.
  7. 7. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 472 с.
  8. 8. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 262 с.
  9. 9. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 320 с.
  10. 10. Бровко Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды. Развитие математического аппарата и основ общей теории. М.: Наука, 2017. 432 с.
  11. 11. Роговой А.А. Формализованный подход к построению моделей деформируемого твёрдого тела. Ч. 1. Основные соотношения механики сплошных сред. М., Ижевск: Ин-т компьют. исследований, 2021. 286 с.
  12. 12. Остросаблин Н.И. Условия совместности малых деформаций и функции напряжений // Прикл. механика и техн. физика. 1997. Т. 38. № 5. С. 136-146.
  13. 13. Остросаблин Н.И. Об уравнениях Бельтрами-Мичелла и операторе Сен-Венана // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 211-217.
  14. 14. Остросаблин Н.И. Об условиях совместности малых деформаций и функциях напряжений // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика. 2001. Т. 1. Вып. 1. С. 67-77.
  15. 15. Победря Б.Е. О статической задаче в напряжениях // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2003. № 3. С. 61-67.
  16. 16. Никабадзе М.У. О задаче на собственные значения некоторых применяемых в механике тензоров и о числе существенных условий совместности деформаций Сен-Венана // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2017. № 3. С. 54-58.
  17. 17. Truesdell C. Invariant and complete stress functions for general continua // Arch. Rational. Mech. Anal. 1959. V. 4. № 1. P. 1-29. https://doi.org/10.1007/BF00281376
  18. 18. Кильчевский Н.А. Механика континуальных систем: Избр. тр. Киев: Наук. думка, 1984. 430 с.
  19. 19. Кильчевская Е.Н., Кильчевский Н.А. Функции кинетических напряжений и геометрия пространства в деформированном континууме // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С. 243-250.
  20. 20. Чернышев Г.Н. Взаимное обобщение упругого и гравитационного полей на основе механики деформируемых тел // Изв. АН. МТТ. 2002. № 2. С. 86-100.
  21. 21. Чернышев Г.Н. Упругость, гравитация, электродинамика. М.: Наука, 2003. 144 с.
  22. 22. Остросаблин Н.И. Функции кинетических напряжений в механике сплошных сред // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2007. Вып. 125. С. 76-116.
  23. 23. Федоров Л.В. О решении динамической задачи линейной теории упругости // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 6. С. 13-20. https://doi.org/10.31857/S057232990000795-4
  24. 24. Рыхлевский Я. О законе Гука // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 3. С. 420-435.
  25. 25. Остросаблин Н.И. О функциональной связи двух симметричных тензоров второго ранга // Прикл. механика и техн. физика. 2007. Т. 48. № 5. С. 134-137.
  26. 26. Аннин Б.Д., Остросаблин Н.И. Анизотропия упругих свойств материалов // Прикл. механика и техн. физика. 2008. Т. 49. № 6. С. 131-151.
  27. 27. Дуйшеналиев Т.Б., Жакыпбеков А.Б., Чыныбаев М.К. О мерах деформаций // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Тр. 19-й Всерос. конф. Бийск. 28-31 авг. 2005 г. Новосибирск: Изд-во “Параллель”, 2005. С. 121-126.
  28. 28. Дуйшеналиев Т.Б. Неклассические решения механики деформируемого тела. М.: Изд-во МЭИ, 2017. 400 с.
  29. 29. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970. 492 с.
  30. 30. Хан Х. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения. М.: Мир, 1988. 344 с.
  31. 31. Коновалов А.Н., Сорокин С.Б. Структура уравнений теории упругости. Статическая задача. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. 26 с.
  32. 32. Георгиевский Д.В. Избранные задачи механики сплошной среды. М.: Ленанд, 2018. 560 с.
  33. 33. Георгиевский Д.В., Победря Б.Е. О числе независимых уравнений совместности в механике деформируемого твердого тела // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 4. С. 1043-1048.
  34. 34. Остросаблин Н.И. Параметризация общей группы Лоренца // Сиб. журн. индустр. математики. 2020. Т. 23. № 4. С. 114-125. https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2020.23.409
  35. 35. Ивлев Д.Д. К теории дифференциальных соответствий в механике сплошной среды // Изв. Инж.-техн. Акад. Чуваш. респ. 1996. № 2 (3). С. 5-7.
  36. 36. Остросаблин Н.И. Собственные модули упругости и состояния для материалов кристаллографических сингоний // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1986. Вып. 75. С. 113-125.
  37. 37. Остросаблин Н.И. Классы симметрии тензоров анизотропии квазиупругих материалов и обобщение подхода Кельвина // Прикл. механика и техн. физика. 2017. Т. 58. № 3. С. 108-129. https://doi.org/10.15372/PMTF20170312
  38. 38. Ишлинский А.Ю. Эйлерово описание деформирования одной изотропной среды // Ишлинский А. Ю. Прикладные задачи механики. Кн. 1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. С. 333-336.
  39. 39. Васильев В.В., Федоров Л.В. Об одной аналогии между уравнениями теории упругости и общей теорией относительности // Изв. РАН. МТТ. 2021. № 3. С. 143-154. https://doi.org/10.31857/S0572329921030120
  40. 40. Васильев В.В., Федоров Л.В. Функции напряжений в теории упругости // Изв. РАН. МТТ. 2022. № 4. С. 103-113. https://doi.org/10.31857/S0572329922040122
  41. 41. Лурье С.А., Белов П.А. Уравнения совместности и функции напряжений в теории упругости // Изв. РАН. МТТ. 2022. № 4. С. 114-129. https://doi.org/10.31857/S0572329922040079
  42. 42. Васильев В.В., Федоров Л.В. Принципиальные проблемы релятивистской механики деформируемого твёрдого тела // Изв. РАН. МТТ. 2023. № 6. С. 125-135. https://doi.org/10.31857/S0572329923700083
  43. 43. Stippes M. A remark on compatibility of strain // ZAMP. 1970. V. 21. № 6. P. 1081-1083. https://doi.org/10.1007/BF01594865
QR
Translate

Индексирование

Scopus

Scopus

Scopus

Crossref

Scopus

Higher Attestation Commission

At the Ministry of Education and Science of the Russian Federation

Scopus

Scientific Electronic Library